จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน

ในระบบจำนวนจริง  สมการพหุนามบางสมการ เช่น    +  1  =  0

  ไม่มีคำตอบเนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงใดๆ  จะมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

   ในบทนี้จะศึกษาวิธีการสร้างระบบจำนวนชนิดใหม่

เพื่อให้คำตอบของสมการพหุนามทุกสมการได้เสมอและเรียกจำนวนในระบบที่สร้างขึ้นใหม่นี้ว่าจำนวนเชิง

ซ้อน (Complex  numbers)  ซึ่งนอกจากจะแก้ปัญหาในเรื่องการมีคำตอบของสมการพหุนามใดๆ แล้ว

 ยังสามารถนำไปประยุกต์อย่างกว้างขวางกับสาขาต่างๆ  ทางด้านวิทยาศาสตร์  และวิศกรรมศาสตร์   เช่น

  วงจรอิเล็กทรอนิกส์   กลศาสตร์ของไหล  ทฤษฎีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า  เป็นต้น

จากที่กล่าวข้างต้นว่า  สมการพหุนาม     ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบของสมการ

แต่นักคณิตศาสตร์ต้องการสร้างระบบจำนวนซึ่งขยายออกไป

เพื่อให้สมการพหุนามทั้งหมดมีคำตอบในระบบจำนวนที่สร้างขึ้นใหม่

ซึ่งเซตของจำนวนในระบบใหม่นี้ต้องเป็นเซตที่มีเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซต

[บทนิยาม]

จำนวนเชิงซ้อน คือ  คู่อันดับ (a,b)  เมื่อ a และ b 

เป็นจำนวนจริงและกำหนดการเท่ากัน  การบวก  และการคูณของจำนวนเชิงซ้อน  ดังนี้

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน  (a,b) และ (c,d)  

1.  การเท่ากัน (a,b) = (c,d)  ก็ต่อเมื่อ  a = c  และ  b = d

2. การบวก (a,b) + (c,d)  =  (a + c , b + d)

3. การคูณ (a,b) . (c,d)   =  (ac – bd , ad + bc ) 

อาจแทน (a,b) . (c,d) ด้วย (a,b)(c,d) ก็ได้

เซตของจำนวนเชิงซ้อนเขียนแทนด้วยสะญลักษณ์  C

ตัวอย่างที่ 1  จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน  (-1,2) และ (3,-4)

วิธีทำ (-1,2) + (3,-4) = (-1 + 3, 2 – 4)

                                 = (2,-2)

              (-1,2)(3,-4) = ((-1)3 – 2(- 4), (-1)(- 4) + 2.3)

                                 = (-3 + 8, 4+ 6)

                                 = (5,10)

พิจารณาจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูป  (x,0)  จะเห็นว่า

( a , 0 ) + ( b , 0 ) = ( a + b , 0 )

      (a , 0 )(b , 0 ) = (ab – 0, a.0 + 0.b ) = ( ab , 0 )

ซึ่งจะเหมือนกับการบวก  และการคูณจำนวนจริง   ฉะนั้นสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนในรูป  (a,0)

ว่าเป็นจำนวนจริง a ตามข้อสังเกตนี้จะได้ว่า  เซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน

เมื่อแทนจำนวนเชิงซ้อน  ( a, 0 ) บนแกน x นั่นเอง