การบวกลบคูณหารจำนวนเชิงซ้อน

การกำหนดสัญลักษณ์ของจำนวนเชิงซ้อน  a + bi เมื่อ a และ b

เป็นจำนวนจริงทำให้การคำนวณเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้ง่ายโดยใช้สมบัติต่างๆ

เกี่ยวกับการบวกและการคูณ  เช่นเดียวกับสมบัติของการบวกและการคูณของจำนวนจริง   และมีข้อตกลงว่า    

= -1  เช่น

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (bi + di)

                            = (a + c) + (b + d)i

(a + bi)(c + di) = a(c + di) + bi(c + di)

                        = ac + adi + bci + bd

a + bi  =  c + di ก็ต่อเมื่อ   a =  c  และ  b  = d

ต่อไป  เมื่อกล่าวว่า  z = a + bi  เป็นจำนวนเชิงซ้อน  จะถือว่า  a และ b

เป็นจำนวนจริงโดยไม่ต้องกล่าวซ้ำอีก

ตัวอย่างที่ 2   จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน  3 + 2i  และ   1 – i

วิธีทำ (3 + 2i) + (1-i) = (3 + 1) + (2 – 1)i

                                  = 4 + i

(3 + 2i)(1 – i) = 3(1 – i) + 2i(1 – i)

                       = 3 – 3i + 2i -

                       = (3 + 2) + (-3 + 2)i

                       = 5 – i

ตัวอย่างที่ 3   จงหาจำนวนจริง  a , b ที่ทำให้   (a + 2i) + (-1 + 2bi)  =  3 + 8i

วิธีทำ เนื่องจาก  (a + 2i) + (-1 + 2bi) = (a – 1) + (2 + 2b)i

ฉะนั้น   a – 1  =  3       และ      2 + 2b   =   8

ดังนั้น         a  =  4       และ               b   =   3

ตัวอย่างที่  4  จงหาผลคูณของ  1 + i , 2 + i และ -1 + 3i

วิธีทำ (1 + i)(2 + i)(-1 + 3i) = [(2 – 1) + (1 + 2)i](-1 + 3i)

                                            = (1 + 3i)(-1 + 3i)

                                            = (-1 – 9 ) + (3 – 3)i

                                            = -10 + 0i

                                           = -10

ข้อสังเกต     เมื่อกำหนด i0 = 1แล้ว   จะได้   สำหรับ m    I+   {0}

                I4m = 1, i4m + 1 = I , i4m + 2  = -1, i4m + 3 =  i